Question

（1）已知曲線y=x²-1與y=1+x³，在x=x₀處切線垂直，求x₀的值；
（2）過點（-1，0）作拋物線y=x²+x+1的切線，求切線方程．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，得到方程，解得即可；
（2）設(shè)出切點，求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，求出切線方程，代入點（-1，0），得到方程，解方程，求得切點，即可得到切線方程．

解答： 解：（1）y=x²-1的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，切線的斜率為2x₀，
y=1+x³的導(dǎo)數(shù)為y′=3x²，切線的斜率為3x₀²，
由于在x=x₀處切線垂直，則有2x₀•3x₀²=-1，
解得，x₀=-

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；
（2）設(shè)切點為（m，n），則n=m²+m+1，
y=x²+x+1的導(dǎo)數(shù)為y′=2x+1，
則切線的斜率為2m+1，
切線方程為y-n=（2m+1）（x-m），
代入（-1，0），得-n=-（1+m）（1+2m）
=-（m²+m+1），解得m=0或-2．
則切點為（0，1），或（-2，3）．
則所求的切線方程為y=x+1或y=-3x-3．

點評：本題考查函數(shù)的切線問題，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率是解決問題的關(guān)鍵，同時注意切點，屬基礎(chǔ)題和易錯題．