Question

1．已知函數(shù)f（x）=e^xlnx-$\frac{a}{2}$x²，函數(shù)f（x）在x=1處的切線與y軸垂直．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）設g（x）=f′（x）-f（x），h（x）=-$\frac{x}$-lnx，若對任意的x∈（0，+∞）都有g（x）≥h（x）成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件便知，切線的斜率為0，而根據(jù)f（x）在x=1處的導數(shù)等于斜率，便可建立關于a的方程，這樣即可得到a=e；
（Ⅱ）先求出g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-ex+\frac{e}{2}{x}^{2}$，然后求導數(shù)，從而可根據(jù)導數(shù)符號得出g（x）的最小值為$\frac{e}{2}$，這樣根據(jù)已知條件便可得到$\frac{e}{2}≥-\frac{x}-lnx$在（0，+∞）上恒成立，這便得到$b≥-xlnx-\frac{ex}{2}$恒成立，可設u（x）=-xlnx$-\frac{ex}{2}$，從而根據(jù)導數(shù)可求出該函數(shù)在（0，+∞）上的最大值為${e}^{-\frac{e}{2}-1}$，這樣即可得出實數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=${e}^{x}lnx+\frac{{e}^{x}}{x}-ax$；
切線和y軸垂直；
∴切線斜率為0；
∴f′（1）=e-a=0；
∴a=e；
（Ⅱ）g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}-ex+\frac{e}{2}{x}^{2}$，$g′（x）=（x-1）（\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}+e）$；
∴x∈（0，1）時，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0；
∴$g（1）=\frac{e}{2}$是g（x）在（0，+∞）上的最小值；
根據(jù)題意$\frac{e}{2}≥-\frac{x}-lnx$在（0，+∞）上恒成立；
∴$b≥-xlnx-\frac{ex}{2}$恒成立，設u（x）=$-xlnx-\frac{ex}{2}$，u′（x）=$-lnx-1-\frac{e}{2}$；
令u′（x）=0得，x=${e}^{（-1-\frac{e}{2}）}$；
∴$0＜x＜{e}^{（-1-\frac{e}{2}）}$時，u′（x）＞0，x$＞{e}^{（-1-\frac{e}{2}）}$時，u′（x）＜0；
∴$x={e}^{（-1-\frac{e}{2}）}$時，u（x）取到最大值$（1+\frac{e}{2}）{e}^{（-1-\frac{e}{2}）}-\frac{{e}^{-\frac{e}{2}}}{2}$=${e}^{-\frac{e}{2}-1}$；
∴$b≥{e}^{-\frac{e}{2}-1}$；
∴實數(shù)b的取值范圍為：$[{e}^{-\frac{e}{2}-1}，+∞）$．

點評 考查函數(shù)在圖象上某點的切線斜率和該函數(shù)在該點的導數(shù)的關系，根據(jù)導數(shù)符號求函數(shù)的最值的方法和過程，掌握恒成立問題的處理方法．