Question

某同學在研究函數(shù)f（x）=

x

1+|x|

（x∈R） 時，分別給出下面幾個結(jié)論：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R時恒成立；
②函數(shù) f （x） 的值域為 （-1，1）；
③若x₁≠x₂，則一定有f （x₁）≠f （x₂）；
④函數(shù)g（x）=f（x）-x在R上有三個零點．
其中正確結(jié)論的序號是（　　）

• A、①②
• B、①②③
• C、①③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：可以先研究函數(shù)的奇偶性，然后做出函數(shù)的圖象，據(jù)此求解．

解答： 解：易知函數(shù)的定義域為R，且f（-x）=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．故①正確；
當x＞0時，f（x）=

x

1+x

=

1

1+ 1 x

，該函數(shù)在（0，+∞）上遞增，且x→0時，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→1．
結(jié)合奇偶性，作出f（x）的圖象如下：
易知函數(shù)的值域是（-1，1），故②正確；
結(jié)合函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，所以③正確；
又x≥0時，g（x）=f（x）-x=

x

1+x

-x=

-x2

1+x

，
令f（x）-x=0得x=0，故此時g（x）只有一個零點0，g（x）顯然是奇函數(shù)，故該函數(shù)只有一個零點，所以④錯誤．
故正確的命題是①②③．
故選B

點評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)．一般先研究定義域，然后判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)作為突破口，有一些要結(jié)合函數(shù)的圖象加以分析，注意數(shù)形結(jié)合的思想的應用．