Question

四棱錐A-ABCD中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=

2

，AB=AC．
（Ⅰ）證明：AD⊥CE；
（Ⅱ）若設(shè)AC=2，求二面角C-AD-E余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取BC中點(diǎn)F，證明CE⊥面ADF，通過(guò)證明線面垂直來(lái)達(dá)到證明線線垂直的目的．
（2）在面AED內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線，垂足為G，由（1）知，CE⊥AD，則∠CGE即為所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點(diǎn)F，連接DF交CE于點(diǎn)O，
∵AB=AC，∴AF⊥BC，
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
tan∠CED=tan∠FDC=

2

2

，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，
∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（Ⅱ）解：在面ACD內(nèi)過(guò)C點(diǎn)作AD的垂線，垂足為G．
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
則∠CGE即為所求二面角的平面角，
∵BC=2，CD=

2

，AB=AC=2，
∴AF=

3

，DF=

2+1

=

3

，AD=

3+3

=

6

，
∴AC⊥DC，CG=

AC•DC

AD

=

2 2

6

=

2 3

3

，
DG=

2- 4 3

=

6

3

，GE=

4- 2 3

=

30

3

，CE=

2+4

=

6

，
∴cos∠CGE=

( 2 3 3 )2+( 30 3 )2-( 6 )2

2× 2 3 3 × 30 3

=-

10

10

．
∴二面角C-AD-E余弦值為-

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明通過(guò)證明線面垂直來(lái)證明線線垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，屬于中檔題．