Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，又PA⊥底面ABCD，PA=

2

，又E為邊BC上異于B、C的點(diǎn)，且PE⊥ED．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求A到平面PED的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：∠BAC=90°，并且AB=1，BC=2，可得∠ABC=60°，AC=

3

即可得到平行四邊形的面積，進(jìn)而求出幾何體的體積．
（2）由題意可得：DE⊥AE，設(shè)BE=x，即可表示出AE²=x²-x+1與ED²=x²-5x+7，可得x=1，再由面PAE⊥平面PED可得：A到面PED的距離轉(zhuǎn)化為A到棱PE的距離，進(jìn)而根據(jù)Rt△PAE的邊長(zhǎng)關(guān)系得到答案．

解答：解：（1）在四棱錐P-ABCD中，ABCD是平行四邊形，∠BAC=90°，
又因?yàn)锳B=1，BC=2，則∠ABC=60°，AC=

3

所以四邊形ABCD面積S=

3

．
又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA=

2

，
所以VP-ABCD=

1

3

•

3

•

2

=

6

3

…（6分）
（2）因?yàn)镻E⊥ED，PA⊥ED，
所以ED⊥平面PAE，
所以DE⊥AE．
在平行四邊形ABCD中，設(shè)BE=x，
則AE2=1+x2-2•1•x•

1

2

=x2-x+1
ED2=1+(2-x)2+2×1×(2-x)×

1

2

=x2 -5x+7
由AD²=AE²+DE²可知：x²-3x+2=0，故x=1，x=2（舍）
因?yàn)镈E⊥平面PAE，
所以面PAE⊥平面PED．
所以A到面PED的距離轉(zhuǎn)化為A到棱PE的距離．
在Rt△PAE中，PA=

2

，AE=BE=1，
所以PE=

3

，
所以A到PE的距離d=

1× 2

3

=

6

3

．
故A到平面PED之距為

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查點(diǎn)到平面的距離，求點(diǎn)到面的距離時(shí)，如果直接法不好求的話，一般轉(zhuǎn)化為棱錐的高利用等體積法來(lái)求．