Question

已知a∈R，討論函數(shù)f（x）=ln（x-1）-ax的單調性并求相對應的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：求出函數(shù)的定義域及導函數(shù)，通過對a的分類討論判斷出導函數(shù)的符號，根據導函數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系寫出單調區(qū)間．

解答：解：函數(shù)f（x）=ln（x-1）-ax的定義域為（1，+∞），
f′（x）=

1

x-1

-a，
（1）當a=0時，f′（x）=

1

x-1

＞0；所以f（x）在（1，+∞）上遞增；
（2）當a≠0時，f′（x）=

1

x-1

-a=

-a(x- a+1 a )

x-1

當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=

a+1

a

=1+

1

a

＞1
所以函數(shù)f（x）在x∈（1，

a+1

a

）時，f′（x）＞0，
函數(shù)f（x）在a＞0時，x∈（1，

a+1

a

）時為增函數(shù)，單調增區(qū)間為（1，

a+1

a

）；
x∈（

a+1

a

，+∞）為減函數(shù)，單調減區(qū)間為（

a+1

a

，+∞）
當a＜0時，f′（x）=

1

x-1

-a=

-a(x- a+1 a )

x-1

＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增；
綜上，當a＞0時，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為（1，

a+1

a

）；單調減區(qū)間為（

a+1

a

，+∞）
當a≤0時，f（x）在（1，+∞）上單調遞增；

點評：本題考查導函數(shù)的符號與函數(shù)單調性的關系，含參數(shù)的函數(shù)解決單調性問題一般需要分類討論，屬于中檔題．