Question

已知a∈R，討論函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax+a+1）的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：先求出f′（x）=0時(shí)得到方程討論△的取值決定方程解得個(gè)數(shù)從而得到函數(shù)極值的個(gè)數(shù)．
解答：解：f′（x）=e^x（x²+ax+a+1）+e^x（2x+a）
=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]，
令f′（x）=0得x²+（a+2）x+（2a+1）=0
（1）當(dāng)△=（a+2）²-4（2a+1）=a²-4a=a（a-4）＞0．
即a＜0或a＞4時(shí)，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
于是f′（x）=e^x（x-x₁）（x-x₂），從而有下表：

即此時(shí)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
（2）當(dāng)△=0即a=0或a=4時(shí)，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有兩個(gè)相同的實(shí)根x₁=x₂
于是f'（x）=e^x（x-x₁）²故當(dāng)x＜x₁時(shí)，f'（x）＞0；當(dāng)x＞x₂時(shí)，f'（x）＞0，因此f（x）無(wú)極值．
（3）當(dāng)△＜0，即0＜a＜4時(shí)，x²+（a+2）x+（2a+1）＞0，f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f（x）為增函數(shù)，此時(shí)f（x）無(wú)極值．因此當(dāng)a＞4或a＜0時(shí)，f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)0≤a≤4時(shí)，f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
綜上所述：當(dāng)a＜0或a＞4時(shí)，f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力．