Question

（1）已知a＞1，b＜1，求證：a+b＞1+ab；
（2）已知x₁，x₂，…，x_n∈R⁺且x₁x₂…x_n=1，求證：（

2

+x₁）（

2

+x₂）…（

2

+x_n）≥（

2

+1）ⁿ．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）證明a+b＞1+ab，只需證明（a-1）（b-1）＜0；
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明n=1時(shí)，不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，進(jìn)而證明出n=k+1時(shí)，不等式成立即可．

解答： 證明：（1）因?yàn)閍＞1，b＜1，所以（a-1）（b-1）＜0，即a+b＞1+ab； …（2分）
（2）（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，

2

+x1=

2

+1，不等式成立．…（4分）
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，即(

2

+x1)(

2

+x2)…(

2

+xk)≥(

2

+1)k成立．…（5分）
則n=k+1時(shí)，若x_k+1=1，則命題成立；若x_k+1＞1，則x₁，x₂，…，x_k中必存在一個(gè)數(shù)小于1，不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為x_k，從而（x_k-1）（x_k+1-1）＜0，即x_k+x_k+1＞1+x_kx_k+1．
x_k+1＜1同理可得，
所以(

2

+x1)(

2

+x2)…(

2

+xk)(

2

+xk+1)=(

2

+x1)(

2

+x2)…(2+

2

(xk+xk+1)+xkxk+1)≥(

2

+x1)(

2

+x2)…(2+

2

(1+xkxk+1)+xkxk+1)=(

2

+x1)(

2

+x2)…(

2

+xkxk+1)(

2

+1)≥(

2

+1)n(

2

+1)=(

2

+1)k+1．
故n=k+1時(shí)，不等式也成立．…（9分）
由（�。�（ⅱ）及數(shù)學(xué)歸納法原理知原不等式成立．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．