(2007•鹽城一模)已知“接龍等差”數(shù)列a1,a2,…,a10,a11,…,a20,a21,…,a30,a31,…構(gòu)成如下:a1=1,a1,a2,…,a10是公差為1的等差數(shù)列;a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列;a20,a21,…,a30是公差為d2的等差數(shù)列;…;a10n,a10n+1,a10n+2,…,a10n+10是公差為dn的等差數(shù)列(n∈N*);其中d≠0.
(1)若a20=80,求d;
(2)設(shè)bn=a10n.求bn
(3)當(dāng)d>-1時,證明對所有奇數(shù)n總有bn>5.
分析:(1)由a1,a2,…,a10是首項為1,公差為1的等差數(shù)列得a10=10,由a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列和a20=80,能求出d.
(2)由題意有a20=a10+10d,a30=a20+10d2,a40=a30+10d3,…a10n=a10(n-1)+10dn-1,由此能求出bn
(3)設(shè)n為奇數(shù),當(dāng)d∈(0,+∞)時bn=10+10d+10d2+…+10dn-1>10,由此能求出當(dāng)n為奇數(shù)且d>-1時,恒有bn>5.
解答:解:(1)由a1,a2,…,a10是首項為1,
公差為1的等差數(shù)列,得a10=10,
由a10,a11,…,a20是公差為d的等差數(shù)列,
得a20=a10+10d=10+10d=80,
解得d=7.     …(4分)
(2)由題意有a20=a10+10d,
a30=a20+10d2,
a40=a30+10d3,

a10n=a10(n-1)+10dn-1
累加得a10n=a10+10d+10d2+…+10dn-1
=10+10d+10d2+…+10dn-1…(8分)
所以bn=10+10d+10d2+…+10dn-1
=
10(1-dn)
1-d
(d≠1)
10n
 &(d=1)
.…(10分)
(3)設(shè)n為奇數(shù),
當(dāng)d∈(0,+∞)時,
bn=10+10d+10d2+…+10dn-1>10…(13分)
當(dāng)d∈(-1,0)時,
bn=
10(1-dn)
1-d
,
由1<1-d<2及1-dn>1,
bn=
10(1-dn)
1-d
10
2
=5

綜上所述,當(dāng)n為奇數(shù)且d>-1時,
恒有bn>5.        …(16分)
點評:本題考查等差數(shù)列的公差的求法和通項公式的求法,考查運算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想.解題時要認真申題,仔細解答,注意計算能力的培養(yǎng).
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