Question

在R上定義運算?：x?y=x（2-y），已知f（x）=（x+1）?（x+1-a）．
（1）若關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}，求實數(shù)a，b；
（2）對于任意的x，不等式f（x）≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由新定義可得f（x）=（x+1）（a+1-x），由f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}可得b和1為方程（x+1）（a+1-x）=0的根，易得答案；
（2）由題意可得（x+1）（a+1-x）≤1恒成立，即x²-ax-a≥0恒成立，由△=a²+4a≤0可得a的范圍．

解答： 解：（1）∵x?y=x（2-y），
∴f（x）=（x+1）?（x+1-a）
=（x+1）[2-（x+1-a）]
=（x+1）（a+1-x），
又∵f（x）≥0的解集是A={x|b≤x≤1}，
∴b和1為方程（x+1）（a+1-x）=0的根，
∴b=-1，a+1=b，解得a=0，b=-1；
（2）∵對于任意的x，不等式f（x）≤1恒成立，
∴（x+1）（a+1-x）≤1恒成立，
化簡可得x²-ax-a≥0恒成立，
∴△=a²+4a≤0，解得-4≤a≤0，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-4，0]

點評：本題考查不等式的解集，涉及新定義和恒成立問題，屬中檔題．