Question

（本小題滿分12分）

已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）斜率為1的直線與曲線交于兩點(diǎn),若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，以及點(diǎn)的對(duì)稱問題，和中垂線性質(zhì)的運(yùn)用，以及直線與二次曲線的交點(diǎn)問題的綜合運(yùn)用。

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱．線段的中垂線分別與交于兩點(diǎn)．利用定義法得到軌跡方程。

（2）設(shè)直線的方程為,由 ，聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步結(jié)合向量的數(shù)量積為零得到結(jié)論。

解：（1）由題意得，圓的半徑為，且    … 1分

從而   …………………………… 3分

∴ 點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓,     ………………………………………… 5分

其中長軸,得到,焦距，則短半軸

橢圓方程為:       ………………………………………………………… 6分

（2）設(shè)直線的方程為,由 

可得 …………………………………………………………… 8分

則,即     ①       …………………………………9分

設(shè),則

由可得,即   …………………10分

整理可得     

化簡可得,滿足①式，故直線的方程為：   …………………12分