Question

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,且(),數(shù)列滿足,,對任意,都有。

（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;

（2）令.

①求證:；

②若對任意的，不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

 

Answer 1

（1），；（2）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)利用求出數(shù)列的遞推關(guān)系式，再利用累乘法數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法求出，易知，再根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可知；

（3）把代入整理得，然后參變量分離

得，構(gòu)造函數(shù)，求的最大值，或者是直接構(gòu)造函數(shù)

，然后對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題。

（1）,

∵，∴ ()，

兩式相減得，()

∴，即( ),

∴()，

又,也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式()。

由，知數(shù)列是等比數(shù)列，其首項(xiàng)、公比均為，

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式。

（2）（1）∴ ①

∴ ②

由①?②,得,

∴

又恒正,

故是遞增數(shù)列,， ∴ 。

又不等式

即，即（）恒成立.

方法一：設(shè)（），

當(dāng)時，恒成立，則滿足條件；

當(dāng)時，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；

當(dāng)時，由于對稱軸，則在上單調(diào)遞減，

恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。

方法二：也即（）恒成立，

令．則,

由，單調(diào)遞增且大于0，∴單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，且，故，∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是。

考點(diǎn)：（1）利用及累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯位相減法進(jìn)行數(shù)列求和；（3）數(shù)列單調(diào)性的判斷；（4）構(gòu)造函數(shù)解決不等式恒成立問題。