Question

設(shè)函數(shù).

若是函數(shù)的極值點，1和是函數(shù)的兩個不同零點，且，求.

若對任意，都存在（為自然對數(shù)的底數(shù)），使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）對零點存在性定理的考查，借助是極值及1是零點建立兩個方程解出和，然后對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)定出其單調(diào)性，再利用零點存在性定理嘗試算出和，發(fā)現(xiàn)異號，得出零點所在的區(qū)間；（2）首先需要我們將兩個變量的不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成常見的一個變量的不等式有解問題，然后再構(gòu)造這個不等式為函數(shù)，為了找的最小值并且讓其小于0，我們利用試根法試出，然后只要讓右零點在端點1右邊即可，解出范圍.

試題解析：(1)，∵是函數(shù)的極值點，∴.∵1是函數(shù)的零點，得，由解得. ∴,，

令，，得；   令得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故函數(shù)至多有兩個零點，其中，因為，，，所以，故．

(2)令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對任意，都存在，使得成立，則在有解，令，只需存在使得即可，=，令，∵的兩個零點分布在左右，又∵，∴的右零點必須大于1，∴，解得.綜上所述，當(dāng)時，對任意，都存在，使得成立.

考點：1.零點存在性定理；2.根的分布.