Question

15．△ABC中，已知a²+c²=b²+ac，且sinA：sinC=（$\sqrt{3}$+1）：2，求角C．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理，以及兩角和差的正弦公式，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵a²+c²=b²+ac，
∴a²+c²-b²=ac，
則cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
即B=60°．A+C=180°-B=120°，
A=120°-C．
∴sinA：sinC=（$\sqrt{3}$+1）：2，
∴$\frac{sinA}{sinC}=\frac{sin（12{0}^{0}-C）}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
即2sin（120°-C）=（$\sqrt{3}$+1）sinC，
即2sin120°cosC-2sinCcos120°=（$\sqrt{3}$3+1）sinC，
即$\sqrt{3}$cosC+sinC=（$\sqrt{3}$+1）sinC，
$\sqrt{3}$cosC=$\sqrt{3}$sinC，
即tanC=1，
∴C=45°

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解三角形的應(yīng)用，利用余弦定理以及兩角和差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．