Question

在四邊形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，AB的中點（如圖1）．將四邊形ABCD沿FG折成空間圖形（如圖2）后，
（1）求證：DE⊥FG；
（2）線段BG上是否存在一點M，使得AM∥平面BDF？若存在，試指出點M的位置，并證明之；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先通過圖1得到AD∥BC，再由中位線定理得到FG∥AD∥BC，由圖2可得到AD=BE，進而可知四邊形ABED是平行四邊形，可證明AB∥DE，再由∠GAD=∠GBC=90°，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G∥BC，可得到AG⊥FG且BG⊥FG，最后根據(jù)線面垂直的判定定理可證FG⊥平面AGB，又因為AB?平面AGB，所以DE⊥FG．
（2）先判斷當M在線段BG上，且BM=2MG時，AM∥平面BDF．根據(jù)等比線段的性質(zhì)得到從而知四邊形MNDA是平行四邊形，
得到AM∥DN，再由線面平行的判定定理可知AM∥平面BDF，得證．
解答：證明：（1）在圖1中，因為∠ABC=∠BAD=90°，所以AD∥BC．
因為F，G分別是CD，AB的中點，所以FG∥AD∥BC．
在圖2中，因為FG∥AD，F(xiàn)G∥BC，所以AD∥BC．
因為BC=2AD，E是BC的中點，所以AD=BE．
所以四邊形ABED是平行四邊形．
所以AB∥DE．
因為∠GAD=∠GBC=90°，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G∥BC，
所以AG⊥FG，且BG⊥FG．
因為AG∩BG=G，且AG，BG?平面AGB，所以FG⊥平面AGB．
因為AB?平面AGB，所以FG⊥AB．
所以DE⊥FG．
（2）當M在線段BG上，且BM=2MG時，AM∥平面BDF．
證明如下：
在線段BF上取點N，使BN=2NF．
因為FG是梯形ABCD的中位線，BC=2AD=4，
所以FG∥AD，且FG=3．
因為BM=2ME，BN=2NF，所以MN∥FG，且MN=
所以
所以四邊形MNDA是平行四邊形．
所以AM∥DN．
又因為DN?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM∥平面BDF．
點評：本題主要考查線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理的應用．考查對立體幾何中基本定理的綜合應用能力和空間想象能力．