一個(gè)圓柱形圓木的底面半徑為1m，長(zhǎng)為10m，將此圓木沿軸所在的平面剖成兩個(gè)部分．現(xiàn)要把其中一個(gè)部分加工成直四棱柱木梁，長(zhǎng)度保持不變，底面為等腰梯形（如圖所示，其中O為圓心，在半圓上），設(shè)，木梁的體積為V（單位：m3），表面積為S（單位：m2）．

（1）求V關(guān)于θ的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求的值，使體積V最大；
（3）問(wèn)當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S是否也最大？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1），（2），（3）當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大．

解析試題分析：（1）解答實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵讀懂題意.本題所求體積為直四棱柱體積，體積為高與底面積的乘積.高為圓木的長(zhǎng)，底面積為梯形的面積.利用角表示出梯形上下底及高，就可得到所求關(guān)系式. （2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)為零時(shí)，定義區(qū)間導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)討論其單調(diào)性，研究其圖像變化規(guī)律，確定其極值、最值.本題函數(shù)先增后減，在時(shí)，取極大值，也是最大值.（3）本題實(shí)質(zhì)是求表面積的最大值，并判斷取最大值時(shí)是否成立.首先先建立表面積的函數(shù)關(guān)系式.表面積由兩部分組成，一是底面積，二是側(cè)面積. 底面積為梯形的面積，有兩個(gè). 側(cè)面積為梯形周長(zhǎng)與圓木的長(zhǎng)的乘積.再利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值及取最大值時(shí)角的取值.
試題解析：（1）梯形的面積
=，． 2分
體積． 3分
（2）．
令，得，或（舍）．
∵，∴． 5分
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)． 7分
∴當(dāng)時(shí)，體積V最大． 8分
（3）木梁的側(cè)面積=，．
=，． 10分
設(shè)，．∵，
∴當(dāng)，即時(shí)，最大． 12分
又由（2）知時(shí)，取得最大值，
所以時(shí)，木梁的表面積S最大． 13分
綜上，當(dāng)木梁的體積V最大時(shí)，其表面積S也最大． 14分
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知，函數(shù).
（1）如果時(shí)，恒成立，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：.

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設(shè)函數(shù)，，，記.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值；
（2）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與x軸交于兩點(diǎn)，且，又是的導(dǎo)函數(shù)，若正常數(shù)滿足條件.證明：.

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已知函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有公共的切線，設(shè).
（1） 求的值
（2）求在區(qū)間上的最小值.

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已知函數(shù)．
（1）若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）若在上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù),．
（1）求函數(shù)在上的最小值；
（2）若存在是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知某商品的進(jìn)貨單價(jià)為1元/件，商戶甲往年以單價(jià)2元/件銷售該商品時(shí)，年銷量為1萬(wàn)件，今年擬下調(diào)銷售單價(jià)以提高銷量，增加收益．據(jù)測(cè)算，若今年的實(shí)際銷售單價(jià)為x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年銷量(單位：萬(wàn)件)與(2－x)2成正比，比例系數(shù)為4．
（1）寫出今年商戶甲的收益y(單位：萬(wàn)元)與今年的實(shí)際銷售單價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）商戶甲今年采取降低單價(jià)，提高銷量的營(yíng)銷策略是否能獲得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x2－mlnx＋(m－1)x，當(dāng)m≤0時(shí)，試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

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