Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差數(shù)列，對(duì)某個(gè)確定的正整數(shù)k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數(shù)）．
（1）若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，a₁=2，當(dāng)k=3時(shí)，M=100，寫(xiě)出所有這樣數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）若數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，對(duì)給定的常數(shù)d，當(dāng)數(shù)列由已知條件被唯一確定時(shí)，證明a₁≤0；
（3）求S=a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值及此時(shí)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)當(dāng)k=3時(shí)，M=100，d是正整數(shù)，建立關(guān)系式，即可求出d的值，從而求出數(shù)列的前4項(xiàng)；
（2）由題意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*），令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，因?yàn)閐，k均是正數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，從而確定a₁的范圍；
（3）設(shè)a_k+1=x，則S=（k+1）x+，轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次函數(shù)求最值，從而求出此時(shí)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
解答：解：（1）因?yàn)閐是正整數(shù)，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的數(shù)列為2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分）
（2）由題意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*）．…（5分）
令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，
因?yàn)閐，k均是正數(shù)，所以對(duì)稱(chēng)軸，開(kāi)口向上，…（6分）
①當(dāng)（kd）²-M＞0時(shí)，若（*）有整數(shù)解，則必有a₁＜0．…（8分）
②當(dāng)（kd）²-M≤0時(shí)，若（*）只有一個(gè)整數(shù)解，則必有a₁=0．…（10分）
（3）設(shè)a_k+1=x，則S=（k+1）x+，所以kd=…（12分）
M≥，…（13分）
故M≥，即S≤，…（14分）
當(dāng)S=時(shí)，x=，d=，…（15分）
此時(shí)，所以S的最大值為．…（16分）
由，所以，…（17分）
此時(shí)．…（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用，同時(shí)考查了利用二次函數(shù)求最值，屬于中檔題．