(2008•寶山區(qū)二模)已知{an}是公差d大于零的等差數(shù)列,對某個確定的正整數(shù)k,有a12+ak+12≤M(M是常數(shù)).
(1)若數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),a1=2,當(dāng)k=3時,M=100,寫出所有這樣數(shù)列的前4項(xiàng);
(2)若數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為整數(shù),對給定的常數(shù)d,當(dāng)數(shù)列由已知條件被唯一確定時,證明a1≤0;
(3)求S=ak+1+ak+2+…+a2k+1的最大值及此時數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析:(1)根據(jù)當(dāng)k=3時,M=100,d是正整數(shù),建立關(guān)系式,即可求出d的值,從而求出數(shù)列的前4項(xiàng);
(2)由題意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*),令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,因?yàn)閐,k均是正數(shù),所以對稱軸a1=-
kd
2
<0
,開口向上,從而確定a1的范圍;
(3)設(shè)ak+1=x,則S=(k+1)x+
k(k+1)
2
d
,轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次函數(shù)求最值,從而求出此時數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解答:解:(1)因?yàn)閐是正整數(shù),由22+(2+3d)2≤100得,d=1或2.…(2分)
所求的數(shù)列為2,3,4,5或2,4,6,8.…(4分)
(2)由題意得2a12+2kda1+(kd)2-M≤0(*).…(5分)
令f(a1)=2a21+2kda1+(kd)2-M,
因?yàn)閐,k均是正數(shù),所以對稱軸a1=-
kd
2
<0
,開口向上,…(6分)
①當(dāng)(kd)2-M>0時,若(*)有整數(shù)解,則必有a1<0.…(8分)
②當(dāng)(kd)2-M≤0時,若(*)只有一個整數(shù)解,則必有a1=0.…(10分)
(3)設(shè)ak+1=x,則S=(k+1)x+
k(k+1)
2
d
,所以kd=
2S
k+1
-2x
…(12分)
M≥(x-kd)2+x2=10(x-
3S
5(k+1)
)
2
+
2
5
(
S
k+1
)
2
,…(13分)
故M≥
2
5
(
S
k+1
)
2
,即S≤
k+1
2
10M
,…(14分)
當(dāng)S=
k+1
2
10M
時,x=3
M
10
,d=
4
k
M
10
,…(15分)
此時
a
2
1
+
a
2
k+1
=
M
10
+
9M
10
=M
,所以S的最大值為
(k+1)
10M
2
.…(16分)
ak+1=a1 +kd=3
M
10
,所以a1=-
M
10
,…(17分)
此時an=
4n-4-k
k
M
10
.…(18分)
點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合運(yùn)用,同時考查了利用二次函數(shù)求最值,屬于中檔題.
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3
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3
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3
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=
3
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