【題目】如圖1在正方形中,
,
是
的中點(diǎn),把
沿
折疊,使
為等邊三角形,得到如圖2所示的幾何體.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)取的中點(diǎn)
,連接
,
,證得
和
,證得
平面
,進(jìn)而得到
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)證得,分別以
,
的方向?yàn)?/span>
軸,
軸的正方向,過(guò)點(diǎn)
垂直于平面
的直線為
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,分別求得平面
和平面
的一個(gè)法向量,結(jié)合向量的夾角公式,即可求解.
(I)依題意,底面是直角梯形,
,
,
取的中點(diǎn)
,連接
,
,
則,
,所以四邊形
為矩形,所以
,
因?yàn)?/span>為等邊三角形,所以
,
因?yàn)?/span>,所以
平面
,
因?yàn)?/span>平面
,所以
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面
,所以平面
平面
,
點(diǎn)到平面
的距離即點(diǎn)
到
的距離,
因?yàn)?/span>,
,
,所以
平面
,所以
,
在中,可得
到
的距離為
,
分別以,
的方向?yàn)?/span>
軸,
軸的正方向,過(guò)點(diǎn)
垂直于平面
的直線為
軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
,
則,
,
,
,
所以,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
所以取
,則
,
而平面的一個(gè)法向量為
,
則,
由圖可知,二面角為鈍角,所以所求的余弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】阿波羅尼斯(約公元前年)證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)
的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)
、
間的距離為
,動(dòng)點(diǎn)
滿足
,則
的最小值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某單位在2019年重陽(yáng)節(jié)組織50名退休職工(男、女各25名)旅游,退休職工可以選擇到甲、乙兩個(gè)景點(diǎn)其中一個(gè)去旅游.他們最終選擇的景點(diǎn)的結(jié)果如下表:
男性 | 女性 | |
甲景點(diǎn) | 20 | 10 |
乙景點(diǎn) | 5 | 15 |
(1)據(jù)此資料分析,是否有的把握認(rèn)為選擇哪個(gè)景點(diǎn)與性別有關(guān)?
(2)按照游覽不同景點(diǎn)用分層抽樣的方法,在女職工中選取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行采訪,求這2人游覽的景點(diǎn)不同的概率.
附:,
.
P( | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知多面體ABCDEF中,四邊形ABFE為正方形,,
,G為AB的中點(diǎn),
.
(1)求證:平面CDEF;
(2)求平面ACD與平面BCF所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓與橢圓
相交于點(diǎn)M(0,1),N(0,-1),且橢圓的離心率為
.
(1)求的值和橢圓C的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)M的直線交圓O和橢圓C分別于A,B兩點(diǎn).
①若,求直線
的方程;
②設(shè)直線NA的斜率為,直線NB的斜率為
,問(wèn):
是否為定值? 如果是,求出定值;如果不是,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].從樣本成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,記這2人成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為ξ,則ξ的數(shù)學(xué)期望為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
.
(1)若為單調(diào)遞減函數(shù),求
的取值范圍;
(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,
為等邊三角形,四邊形
為矩形,
為
的中點(diǎn),
.
證明:平面
平面
.
設(shè)二面角
的大小為
,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的極小值為
,求
的值;
(2)若,證明:當(dāng)
時(shí),
成立.
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