Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，PD⊥平面ABCD．異面直線AD與PB所成角為60°，E為線段PC上一點(diǎn)，PE=2EC．
（1）求PD的長(zhǎng)； （2）求二面角P-BD-E的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，PD⊥平面ABCD．異面直線AD與PB所成角為60°，我們可得△PBC為直角三角形，且∠PBC=60°，BC=3，代入求出PC后，解直角△PDC可得答案．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系D-xyz，分別求出平面PBD及平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角P-BD-E的大小．
解答：解：（1）∵ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∴BC⊥PC
∵異面直線AD與PB所成角為60°，BC∥AD
∴在Rt△PBC中，∠PBC=60°，BC=3
故PC=3
在Rt△PDC中，CD=3
∴
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示
則P（0，0，3），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），
E為線段PC上一點(diǎn)，PE=2EC，故E（0，2，）
∵PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D
AC⊥平面PBD
∴=（-3，3，0）為平面PBD的一個(gè)法向量
又∵=（-3，-3，0），=（0，2，）
設(shè)向量=（x，y，z）為平面BDE的一個(gè)法向量，則

即
令x=1，則=（1，-1，）
設(shè)二面角P-BD-E的平面角為θ
則|cosθ|==
二面角P-BD-E的大小為45°
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，其中建立空間坐標(biāo)系將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題是解答本題的關(guān)鍵．