已知函數(shù)f(x)=log2x.
(1)若f(x)的反函數(shù)是f-1(x),解方程:f-1(2x+1)=3f-1(x)-1;
(2)當x∈(3m,3m+3](m∈N)時,定義g(x)=f(x-3m).設an=n•g(n),數(shù)列{an}的前n項和為Sn,求a1、a2、a3、a4和S3n
(3)對于任意a、b、c∈[M,+∞),且a≥b≥c.當a、b、c能作為一個三角形的三邊長時,f(a)、f(b)、f(c)也總能作為某個三角形的三邊長,試探究M的最小值.
【答案】分析:(1)由題設知,g(2x)=3g(x)+6,,
由此能求出原方程的解為x=log25.
(2)若1∈(3m,3m+3],m=0,能導出a1=0;若2∈(3m,3m+3],m=0,能導出a2=2;若3∈(3m,3m+3],m=0,能導出a3=3log23;若4∈(3m,3m+3],m=1,能導出a4=0;當n=3m+1(m∈N)時,能導出an=0;當n=3m+2(m∈N)時,能導出an=n;當n=3m+3(m∈N)時,能導出an=nlog23.由此能求出S3n
(3)由題意知,c+b>a,若f(a),f(b),f(c)能作為某個三角形的三邊長?log2c+log2b>log2a?bc>a,bc≥b+c?(b-1)(c-1)≥1.當b≥2,c≥2時,有(b-1)(c-1)≥1成立,則一定有bc>a成立.由此能夠?qū)С鯩的最小值為2.
解答:解:(1)∵函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=f(2x+1)的反函數(shù),f(x)=log2x
,而g(2x)=3g(x)+6

即22x-3•2x-10=0(2分)(2x+2)•(2x-5)=0,∴2x=5
故:原方程的解為x=log25(2分)
(2)若1∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(1)=f(1)=0,∴a1=1×0=0
若2∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(2)=f(2)=1,∴a2=2×1=2
若3∈(3m,3m+3],∴m=0,∴φ(3)=f(3)=log23,∴a3=3log23
若4∈(3m,3m+3],∴m=1,∴φ(4)=f(1)=0,∴a4=4×0=0(2分)
當n=3m+1(m∈N)時,φ(n)=f(n-3m)=f(1)=0,∴an=n×0=0
當n=3m+2(m∈N)時,φ(n)=f(n-3m)=f(2)=1,∴an=n×1=n
當n=3m+3(m∈N)時,φ(n)=f(n-3m)=f(3)=log23,∴an=nlog23(2分)S3n=a1+a2+a3+a4+…+a3n
=1×0+2×1+3×log23+4×0+5×1+…+3nlog23
=(2+5+8+…+3n-1)×1+(3+6+9+…+3n)log23
=
=(2分)
(3)由題意知,c+b>a
∵f(a),f(b),f(c)能作為某個三角形的三邊長,
∴l(xiāng)og2c+log2b>log2a,
∴bc>a(2分)
∵bc≥b+c,
∴(b-1)(c-1)≥1
當b≥2,c≥2時,有(b-1)(c-1)≥1成立,則一定有bc>a成立.(2分)
∵log2c>0,
∴c>1,即0<M≤1不合題意.(2分)
又當1<M<2時,取b=M,c=M,a=M2,有M+M>M2,即b+c>a,
此時a,b,c可作為一個三角形的三邊長,但log2M+log2M=2log2M=log2M2
即f(b)+f(c)=f(a),所以f(a)、f(b)、f(c)不能作為三角形的三邊長.
綜上所述,M的最小值為2.(2分)
解法2:a≥b≥c,由題意知,b+c>a
∵f(a),f(b),f(c)能作為某個三角形的三邊長
∴l(xiāng)og2b+log2c>log2a,
∴bc>a
設a=c+p1,b=c+p2p1≥p2≥0
∵p1=0⇒p2=0,
∴a=b=c>1,f(a),f(b),f(c)顯然能作為某個三角形三邊長
若p1≠0,由(1)知c>p1-p2
由(2)知bc>a,
=
而c+p2>p1,則
故:c≥2.
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意公式的合理運用.
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x1+x2
2
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6
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6
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