【題目】在直角梯形PBCD中,,,,A為PD的中點(diǎn),如圖.將△PAB沿AB折到△SAB的位置,使SB⊥BC,點(diǎn)E在SD上,且,如圖.
(Ⅰ)求證:SA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角E﹣AC﹣D的正切值.
【答案】(I)證明見解析;(II).
【解析】
試題分析:(I)由于只需證,而所以,所以,第一問得證;(II)以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面與平面的法向量來計算二面角的余弦值,進(jìn)而求出正切值.
試題解析:
(法一)(I)由題意可知,翻折后的圖中SA⊥AB①,易證BC⊥SA②,由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD;
(II)(三垂線法)由考慮在AD上取一點(diǎn)O,使得,從而可得EO∥SA,所以EO⊥平面ABCD,過O作OH⊥AC交AC于H,連接EH,∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角,在Rt△AHO中求解即可
(法二:空間向量法)
(1)同法一
(2)以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,易知平面ACD的法向?yàn)?/span>,求平面EAC的法向量,代入公式求解即可
解法一:(1)證明:在題平面圖形中,由題意可知,BA⊥PD,ABCD為正方形,
所以在翻折后的圖中,SA⊥AB,SA=2,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,
因?yàn)镾B⊥BC,AB⊥BC,SB∩AB=B
所以BC⊥平面SAB,
又SA平面SAB,
所以BC⊥SA,
又SA⊥AB,BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD,
(2)在AD上取一點(diǎn)O,使,連接EO
因?yàn)?/span>,所以EO∥SA
因?yàn)镾A⊥平面ABCD,
所以EO⊥平面ABCD,
過O作OH⊥AC交AC于H,連接EH,
則AC⊥平面EOH,
所以AC⊥EH.
所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角,.
在Rt△AHO中,,
∴,
即二面角E﹣AC﹣D的正切值為
解法二:(1)同方法一
(2)解:如圖,以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),S(0,0,2),E(0,,)
∴平面ACD的法向?yàn)?/span>
設(shè)平面EAC的法向量為=(x,y,z),,
由,
所以,可取
所以=(2,﹣2,1).
所以
所以
即二面角E﹣AC﹣D的正切值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市統(tǒng)計局就某地居民的月收入調(diào)查了10000人,并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖,每個分組包括左端點(diǎn),不包括右端點(diǎn),如第一組表示收入在.
(1)求居民收入在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)及其眾數(shù);
(3)為了分析居民的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系,從這10000人中用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步分析,則應(yīng)月收入為的人中抽取多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生,將其成績(均為整數(shù))分成六組[40,50),[50,60) ...[90,100]后,畫出如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息,回答下列問題:
(Ⅰ) 求成績落在[70,80)上的頻率,并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖;
(Ⅱ) 估計這次考試的及格率(60分及以上為及格)和平均分;
(Ⅲ) 設(shè)學(xué)生甲、乙的成績屬于區(qū)間[40,50),現(xiàn)從成績屬于該區(qū)間的學(xué)生中任選兩人,求甲、乙中至少有一人被選的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是( )
A. 若l⊥m,mα,則l⊥α
B. 若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C. 若l∥α,mα,則l∥m
D. 若l∥α,m∥α,則l∥m
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù),其中.
(1)如果函數(shù)與在處的切線均為,求切線的方程及的值;
(2)如果曲線與有且僅有一個公共點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知兩定點(diǎn)、,⊙C的方程為.當(dāng)⊙C的半徑取最小值時:
(1)求出此時m的值,并寫出⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)在x軸上是否存在異于點(diǎn)E的另外一個點(diǎn)F,使得對于⊙C上任意一點(diǎn)P,總有為定值?若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),若不存在,請說明你的理由;
(3)在第(2)問的條件下,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】劉老師是一位經(jīng)驗(yàn)豐富的高三理科班班主任,經(jīng)長期研究,他發(fā)現(xiàn)高中理科班的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(總分150分)與理綜成績(物理、化學(xué)與生物的綜合,總分300分)具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性,以下是劉老師隨機(jī)選取的八名學(xué)生在高考中的數(shù)學(xué)得分x與理綜得分y(如下表):
學(xué)生編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理綜分?jǐn)?shù)y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
參考數(shù)據(jù)及公式: .
(1)求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若小汪高考數(shù)學(xué)110分,請你預(yù)測他理綜得分約為多少分?(精確到整數(shù)位);
(3)小金同學(xué)的文科一般,語文與英語一起能穩(wěn)定在215分左右.如果他的目標(biāo)是在
高考總分沖擊600分,請你幫他估算他的數(shù)學(xué)與理綜大約分別至少需要拿到多少分?(精確到整數(shù)位).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若對于任意的,若函數(shù)在區(qū)間上有最值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】衡州市臨棗中學(xué)高二某小組隨機(jī)調(diào)查芙蓉社區(qū)160個人,以研究這一社區(qū)居民在20:00-22:00時間段的休閑方式與性別的關(guān)系,得到下面的數(shù)據(jù)表:
休閑方式 性別 | 看電視 | 看書 | 合計 |
男 | 20 | 100 | 120 |
女 | 20 | 20 | 40 |
合計 | 40 | 120 | 160 |
下面臨界值表:
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(Ⅰ)將此樣本的頻率估計為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查3名在該社區(qū)的男性,設(shè)調(diào)查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數(shù)為隨機(jī)變量,求 的分別列和期望;
(Ⅱ)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有99%的把握認(rèn)為“在20:00-22:00時間段的休閑方式與性別有關(guān)系”?
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