Question

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓G上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12．圓C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）的圓心為點(diǎn)A_k．
（1）求橢圓G的方程
（2）求△A_kF₁F₂的面積
（3）問是否存在圓C_k包圍橢圓G？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由橢圓定義知，橢圓G上一點(diǎn)到F₁、F₂的距離之和為12，即2a=12，求得a，再根據(jù)離心率為，求得c，最后利用橢圓中b²=a²-c²求得b，則橢圓G的方程解決．
（2）先通過圓C_k：x²+y²+2kx-4y-21=0（k∈R）表示出其圓心A_k的坐標(biāo)，則其縱坐標(biāo)2為△A_kF₁F₂的高，而F₁F₂的長度為焦距2c，所以代入三角形面積公式問題解決．
（3）先對k進(jìn)行分類，再利用特殊點(diǎn)（即橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)）可判定不論k為何值圓C_k都不能包圍橢圓G．
解答：解：（1）設(shè)橢圓G的方程為：（a＞b＞0），半焦距為c，
則，解得，
∴b²=a²-c²=36-27=9
所以橢圓G的方程為：．
（2）由圓C_k的方程知，圓心A_K的坐標(biāo)為（-k，2），
∴．
（3）若k≥0，由6²+0²+12k-0-21=15+12k＞0可知點(diǎn)（6，0）在圓C_k外，
若k＜0，由（-6）²+0²-12k-0-21=15-12k＞0可知點(diǎn)（-6，0）在圓C_k外；
∴不論k為何值圓C_k都不能包圍橢圓G．
點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，同時(shí)與圓結(jié)合考查了圓的部分性質(zhì)．