Question

長沙市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實地調(diào)研.據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k(k＞0).現(xiàn)已知相距36 km的A，B兩家化工廠(污染源)的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a,b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和.設(shè)AC=x(km).

       (Ⅰ) 試將y表示為x的函數(shù)；

       (Ⅱ) 若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）25.

【解析】（1）由污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，

利用正比例與反比例函數(shù)關(guān)系寫出y用x表示的函數(shù)關(guān)系式，注意；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即求得b的值為25.

解：（Ⅰ） 設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為，點C受B污染源污染指數(shù)為，其中k為比例系數(shù)，且k＞0. ………………………………………………2分

從而點C處污染指數(shù)………………………4分

（Ⅱ） 因為a=1，所以，，……………………………………… 5分

y′=，…………………………………………………7分

令y′=0，得，……………………………………………………9分

當(dāng)x∈時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈時，函數(shù)單調(diào)遞增.

∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值…………………………………… 11分

又此時x=6，解得b=25，經(jīng)驗證符合題意.

所以，污染源B的污染強(qiáng)度b的值為25…………………………………12分.