Question

（2012•濟南二模）長沙市“兩會”召開前，某政協(xié)委員針對自己提出的“環(huán)保提案”對某處的環(huán)境狀況進行了實地調(diào)研．據(jù)測定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k（k＞0）．現(xiàn)已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為正數(shù)a，b，它們連線上任意一點C處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對該處的污染指數(shù)之和．設(shè)AC=x（km）．
（Ⅰ）試將y表示為x的函數(shù)；
（Ⅱ）若a=1時，y在x=6處取得最小值，試求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出點C受A、B污染源污染指數(shù)，即可得到點C處污染指數(shù)；
（Ⅱ） 求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值與最值，進而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ） 設(shè)點C受A污染源污染指數(shù)為

ka

x

，點C受B污染源污染指數(shù)為

kb

36-x

，其中k為比例系數(shù)，且k＞0．…（2分）
從而點C處污染指數(shù)y=

ka

x

+

kb

36-x

(0＜x＜36)…（4分）
（Ⅱ） 因為a=1，所以y=

k

x

+

kb

36-x

，…（5分）
∴y′=k[-

1

x2

+

b

(36-x)2

]，…（7分）
令y′=0，得x=

36

1+ b

，…（9分）
當(dāng)x∈(0，

36

1+ b

)時，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(

36

1+ b

，+∞)時，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

36

1+ b

時，函數(shù)取得最小值…（11分）
又此時x=6，解得b=25，經(jīng)驗證符合題意．
所以，污染源B的污染強度b的值為25…（12分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．