Question

已知函數f（x）=

-x2+4x，(x≥0) ax，  (x＜0)

且f（-1）=2．
（1）求a的值；
（2）寫出f（x）的單調區(qū)間；
（3）若函數g（x）=f（x）-m有三個互不相等的零點x₁，x₂，x₃，
①求m的取值范圍；
②求x₁+x₂+x₃的取值范圍．

Answer 1

考點：分段函數的應用,函數零點的判定定理

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據分段函數的表達式即可求a的值；
（2）根據分段函數的表達式即可寫出f（x）的單調區(qū)間；
（3）作出函數f（x）的圖象，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：（1）∵f（-1）=2，∴f（-1）=-a=2，即a=-2；
（2）當a=-2時，f（x）=

-x2+4x，x≥0 -2x，x＜0

，
作出函數f（x）的圖象，
則f（x）的單調增區(qū)間為（0，2]，遞減區(qū)間為（-∞，0]和[2，+∞）．
（3）①若函數g（x）=f（x）-m有三個互不相等的零點x₁，x₂，x₃，
即f（x）=m有三個根，即函數y=f（x）與y=m有三個不同的交點，
則0＜m＜4，即m的取值范圍是（0，4）；
②不妨設x₁＜x₂＜x₃，
則x₁＜0，x₂＞0，x₃＞0，且x₂，x₃，關于x=2對稱，
則x₂+x₃=2×2=4，
則x₁+x₂+x₃=x₁+4＜4，
即x₁+x₂+x₃的取值范圍是（-∞，4）．

點評：本題主要考查分段函數的應用，以及函數零點的應用，利用數形結合以及二次函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．