Question

（本題滿分12分）

已知函數(shù)（）．

   （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；

   （2）當(dāng)函數(shù)在單調(diào)時(shí)，求的取值范圍；

   （3）求函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。

Answer 1

解析:

（1）時(shí)，，

函數(shù)在區(qū)間僅有極大值點(diǎn)，故這個(gè)極大值點(diǎn)也是最大值點(diǎn)，

故函數(shù)在最大值是，

又，故，

故函數(shù)在上的最小值為。（4分）

   （2），令，則，

則函數(shù)在遞減，在遞增，由，，

，故函數(shù)在的值域?yàn)?img border=0 width=64 height=45 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/145/143745.gif" >。

若在恒成立，即在恒成立，只要，

若要在在恒成立，即在恒成立，只要。

即的取值范圍是。（8分）

   （3）若既有極大值又有極小值，則首先必須有兩個(gè)不同正根，

即 有兩個(gè)不同正根。

故應(yīng)滿足，∴當(dāng)時(shí)，

有兩個(gè)不等的正根，不妨設(shè)，

由知：

時(shí)，時(shí)，時(shí)，

∴當(dāng)時(shí)既有極大值又有極小值．

反之，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不相等的正根，

故函數(shù)既有極大值又有極小值的充要條件。   （12分）