已知直線l經過橢圓的焦點并且與橢圓相交于P,Q兩點,線段PQ的垂直平分線與x軸相交于點M,則△MPQ面積的最大值為   
【答案】分析:設出直線的方程利用直線與橢圓聯(lián)立方程組,求出AB的距離,求出AB的中點與M的距離,推出三角形的面積的表達式,利用基本不等式求出面積的最大值即可.
解答:解:由題意可知直線的斜率存在,
所以設直線l的方程為y=kx+1,M(m,0);
可得(k2+2)x2+2kx-1=0.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=-
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=.…(3分)
設線段PQ中點為N,則點N的坐標為(),直線MN的方程為:y-=(x-),
M(,0),|MN|==,
|AB|==
△MPQ的面積為==
==.當且僅當k=0時去等號.
所以所求面積的最大值為
故答案為:
點評:本題考查m的取值范圍和求△MPQ面積的最大值.解題時要認真審題,注意挖掘題設中的隱含條件,合理地進行等價轉化.
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y2
2
+x2=1
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