Question

已知函數(shù)f（x）=asinx-

3

2

（a＞0），且在[0，

π

2

]上的最大值為

π-3

2

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）在（0，π）內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，可得f（x）在（0，

π

2

）單調(diào)遞增，f（x）_max=f（

π

2

）=

π-3

2

，求得a的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由y=f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求得y=f（x）在（0，

π

2

）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x∈[

π

2

，π]時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得f（x）在區(qū)間（

π

2

，m）內(nèi)無零點(diǎn)，在f（x）在區(qū)間（m，π）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得：f′（x）=a（sinx+xcosx），∵x∈（0，

π

2

），∴sinx+xcosx＞0，
故當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，即f（x）在（0，

π

2

）單調(diào)遞增，
f（x）_max=f（

π

2

）=

aπ

2

-

3

2

=

π-3

2

，求得a=1，可得f（x）=xsinx-

3

2

．
（Ⅱ）由（1）可知f（x）=xsinx-

3

2

，f（0）=-

3

2

，f（

π

2

）=

π-2

2

＞0，
且y=f（x）在區(qū)間（0，

π

2

）上單調(diào)遞增，故y=f（x）在（0，

π

2

）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
當(dāng)x∈[

π

2

，π]時(shí)，設(shè)g（x）=f′（x）=sinx+xcosx，則g′（x）=2cosx-xsinx，
顯然當(dāng)x∈[

π

2

，π]時(shí)，g′（x）＜0恒成立，故g（x）=f′（x）在[

π

2

，π]上是減函數(shù)．
又∵g（

π

2

）=1＞1，g（π）=-π＜0，∴必有∈m（

π

2

，π），使g（m）=0．
得到①當(dāng)x∈（

π

2

，m）時(shí)，g（x）＞g（m）=0，
此時(shí)f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，f（x）≥f（

π

2

）=

π-3

2

＞0，f（x）在區(qū)間（

π

2

，m）內(nèi)無零點(diǎn)．
②同理x∈（m，π）時(shí)，g（x）＜g（m）=0，
此時(shí)f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，f（m）＞0，f（π）=-π-

3

2

＜0，
f（x）在區(qū)間（m，π）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，f（x）在區(qū)間（0，π）內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．