Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

-

1

2

sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(x+

π

2

)=g(x)，且當x∈[0，

π

2

]時，g(x)=

1

2

-f(x)，求函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式．
（3）在（2）的條件下，若對任意的x1∈[

π

6

，任意的x2∈[-

π

3

，都有f（x₁）＞g（x₂）+m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用正弦函數(shù)的最小正周期以及函數(shù)的對稱中心直接求解函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心；
（2）通過g(x+

π

2

)=g(x)，得到函數(shù)的周期，利用函數(shù)解析式的求法求解當x∈[0，

π

2

]時，g(x)=

1

2

-f(x)，函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式．
（3）對任意的x1∈[

π

6

，任意的x2∈[-

π

3

，都有f（x₁）＞g（x₂）+m，轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞[g（x）+m]_max，求出兩個函數(shù)的最值，即可求m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
令2x=kπ，k∈Z，得x=

kπ

2

，k∈Z
所以對稱中心為（

kπ

2

，

1

2

）k∈Z．；
（2）函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(x+

π

2

)=g(x)，
∴函數(shù)g（x）的周期為：

π

2

，
當x∈[0，

π

2

]時，g(x)=

1

2

-f(x)=

1

2

sin2x，
當x∈[-π，-

π

2

]時，x+π∈[0，

π

2

]，g（x+π）=g（x），
∴函數(shù)g（x）=

1

2

sin(2x+2π)=

1

2

sin2x
當x∈[-

π

2

，0]時，x+

π

2

∈[0，

π

2

]，g(x+

π

2

)=g(x)
∴函數(shù)g（x）=

1

2

sin(2x+π)=-

1

2

sin2x．
∴函數(shù)g（x）在[-π，0]上的解析式為：g(x)=

1 2 sin2x，x∈[-π，- π 2 ] - 1 2 sin2x，x∈[- π 2 ，0]

．
（3）對任意的x1∈[

π

6

，任意的x2∈[-

π

3

，
都有f（x₁）＞g（x₂）+m，
就是f（x）_min＞[g（x）+m]_max，
對任意的x1∈[

π

6

，函數(shù)f（x）=

1

2

-

1

2

sin2x的最小值為：

1

2

-

1

2

×sin

π

2

=0．
x2∈[-

π

3

，g（x）+m=-

1

2

sin2x+m的最大值為：1+m，
∴0＞1+m．∴m＜-1．
m的取值范圍：（-∞，-1）．

點評：本題考查三角函數(shù)的最值的應(yīng)用，正弦函數(shù)的對稱性與周期性，考查函數(shù)的解析式的求法，基本知識的綜合應(yīng)用．