Question

如圖，已知O（0，0），E（-

3

，0），F(xiàn)（

3

，0），圓F：（x-

3

）²+y²=5．動點P滿足|PE|+|PF|=4．以P為圓心，|OP|為半徑的圓P與圓F的一個公共點為Q．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）證明：點Q到直線PF的距離為定值，并求此值．

Answer 1

考點：圓與圓錐曲線的綜合,圓與圓的位置關(guān)系及其判定,橢圓的定義

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ） 根據(jù)|PE|+|PF|=4＞|EF|，利用橢圓定義知，點P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，4為長軸長的橢圓，從而可求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），由題意知，圓P的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+y₀²，可得（x₀-

3

）x₁+y₀ y₁-1=0，同理（x₀-

3

）x₂+y₀ y₂-1=0，從而可得直線QT的方程，連接PF交QT于H，則PF⊥QT，求出|FH|，即可求點Q到直線PF的距離．

解答： （Ⅰ）解：∵|PE|+|PF|=4＞|EF|，
∴根據(jù)橢圓定義知，點P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，4為長軸長的橢圓．
設(shè)P（x，y），則點P的軌跡方程為

x2

4

+y²=1．               …（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)圓P與圓F的另一個公共點為T，并設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
則由題意知，圓P的方程為（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+y₀²．
又Q為圓P與圓F的一個公共點，故

(x1- 3 )2+ y 2 1 =5，                  (x1-x0)2+(y1-y0)2= x 2 0 + y 2 0

所以（x₀-

3

）x₁+y₀ y₁-1=0．
同理（x₀-

3

）x₂+y₀ y₂-1=0．
因此直線QT的方程為（x₀-

3

）x+y₀y-1=0．
連接PF交QT于H，則PF⊥QT．
設(shè)|QH|=d （d＞0），則在直角△QHF中|FH|=

| 3 (x0- 3 )-1|

(x0- 3 )2+ y 2 0

．
又

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，故|FH|=

| 3 (x0- 3 )-1|

(x0- 3 )2+1- x 2 0 4

=2×

| 3 (x0- 3 )-1|

[ 3 (x0- 3 )-1]2

=2．
在直角△QHF中d=

5-|FH|2

=1．
所以點Q到直線PF的距離為1．                                   …（15分）

點評：本題主要考查橢圓的定義、圓與圓的位置關(guān)系、點到直線距離、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．