Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx+a（1-$\frac{1}{x}$），a∈R．
（1）若a=-1，試求f（x）最小值；
（2）若?x≥1都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最小值即可．
（2）利用$f（x）=lnx+a（1-\frac{1}{x}）≥0$在x≥1時(shí)恒成立，轉(zhuǎn)化$a•\frac{x-1}{x}≥-lnx⇒a•（x-1）≥-xlnx$．通過當(dāng)x=1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，令$g（x）≥-\frac{xlnx}{x-1}（x＞1）$，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=lnx-x+1，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的單調(diào)性求解a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=f（1）=0．
（2）$f（x）=lnx+a（1-\frac{1}{x}）≥0$在x≥1時(shí)恒成立，$a•\frac{x-1}{x}≥-lnx⇒a•（x-1）≥-xlnx$．
當(dāng)x=1時(shí)，a≥0恒成立，∴a∈R．
當(dāng)x＞1時(shí)，$a≥-\frac{xlnx}{x-1}$．
令$g（x）≥-\frac{xlnx}{x-1}（x＞1）$，（xlnx）'=lnx+1，$g'（x）=\frac{-（lnx+1）（x-1）+xlnx}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{lnx-x+1}{{{{（x-1）}^2}}}$．
令h（x）=lnx-x+1，$h'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}＞0$，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）＞h（1）=0．
∴g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）．
由洛必達(dá)法則：$\lim_{x→{1^+}}\frac{-xlnx}{x-1}=\lim_{x→{1^+}}（-lnx-1）=-1$．
∴g（x）＜-1，
∴a≥-1，即a∈[-1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用．