Question

已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，n∈N^*，且S₃=a₅，a₁與S₅的等比中項(xiàng)為5．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）數(shù)列{b_n}滿足b_n=pn-a_n，且{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，n∈N^*，若對任意n∈N^*都有T_n≤T₆，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由S₃=a₅，a₁與S₅的等比中項(xiàng)為5，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式表示出關(guān)于a₁和d的兩個關(guān)系式，聯(lián)立即可求出a₁和d的值，根據(jù)等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列判斷出滿足題意的一對值，然后根據(jù)a₁和d的值寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（II）把a(bǔ)_n的通項(xiàng)公式代入到b_n=pn-a_n中得到b_n也是一個等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出T_n，由T_n≤T₆，n=6時最大，得到T_n是一個開口向下的拋物線，所以二次項(xiàng)系數(shù)

p-2

2

小于0，且5.5≤-

p 2

2× p-2 2

≤6.5，求出不等式的解集即可得到p的取值范圍．

解答：解：（I）由題意

s3=a5 25=a1•s5

可得

2a1=d a1(5a1+10d)=25

，即a₁²=1
∴

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

∵{a_n}為遞增的等差數(shù)列，
∴d＞0，∴

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）

（II）b_n=pn-2n+1=（p-2）n+1=p-1+（p-2）（n-1），
所以b_n是首項(xiàng)為p-1，公差為p-2的等差數(shù)列，
T_n=n（p-1）+

n(n-1)

2

（p-2）=

p-2

2

n²+

p

2

n，
由T_n≤T₆，n=6時最大，知T_n開口向下，
∴p＜2且5.5≤

p

2(2-p)

≤6.5
∴

11

6

≤p≤

13

7

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的公式，靈活利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問題，是一道中檔題．