Question

已知向量：

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），且

a

，

b

滿足關(guān)系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k為正實(shí)數(shù)）．
（1）求證：（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）；
（2）求證

a

與

b

的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)f（k）．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知得

a

+

b

=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ，從而得到（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0，由此能證明（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（2）由已知得|

a

|=|

b

|=1，（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，由此能證明f（k）=

a

•

b

=

k2+1

4k

，（k＞0）．

解答： （1）證明：∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴

a

+

b

=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ，
∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0，
∴（

a

+

b

）⊥（

a

-

b

）．
（2）證明：∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
∵

a

，

b

滿足關(guān)系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|（k為正實(shí)數(shù)），
∴（k

a

+

b

）²=3（

a

-k

b

）²，
化簡，得4k

a

•

b

=k²+1，
∴f（k）=

a

•

b

=

k2+1

4k

，（k＞0）．

點(diǎn)評：本題考查向量垂直的證明，考查向量數(shù)量積為函數(shù)式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．