Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是一個矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：
（1）四棱錐P-ABCD的體積．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥AD、AB⊥AP，
∴AB⊥平面PAD．
由AB?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，
在平面PAD中，作作PE⊥AD，交AD的延長線與E．（因為AE=APcos60°=2＞AD）
∴平面ABCD⊥PE，在Rt△PAE中，PE=APsin60°=2
V_P-ABCD=AB•AD•PE=2 （6分）
（2）在平面ABCD中，作EF∥DC，交BC的延長線與F，則EF⊥BF，連接PF．∵PE⊥平面ABCD，EF⊥BF∴PF⊥BF
于是∠PEF是二面角P-BC-D的平面角． （10分）
在Rt△PEF中，tan∠PEF== （12分）
分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面是一個矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，∠PAD=60°，我們在平面PAD中作PE⊥AD，交AD的延長線與E，則PE即為棱錐底面上的高，求出棱錐的底面面積及高，代入棱錐體積公式即可得到答案．
（2）作EF∥DC，交BC的延長線與F，連接PF，于是∠PEF是二面角P-BC-D的平面角，解三角形PEF，即可得到二面角P-BC-D的正切值．
點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及其求法，棱錐的體積，其中（1）的關(guān)鍵是計算出棱錐底面上的高，（2）的關(guān)鍵是確定二面角P-BC-D的平面角．