【題目】如圖,是邊長為2的正方形,平面平面,且,是線段的中點(diǎn),過作直線,是直線上一動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:;
(2)若直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直,求此時(shí)二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先證EO⊥面ABCD,進(jìn)而可得BC⊥面EOF,從而可證OF⊥BC;
(2)由(1)可得平面,得到、、兩兩垂直,可建立空間直角坐標(biāo)系,由條件得到,轉(zhuǎn)化為向量,從而,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解,得到,,又判斷∠BFC為二面角B﹣OF﹣C的平面角,利用向量夾角公式可求二面角B﹣OF﹣C的余弦值.
(1)因?yàn)?/span>,是中點(diǎn),故,
又因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
故平面,所以;
因?yàn)?/span>,,所以,
故平面,
所以.
(2)設(shè)的中點(diǎn)為,則有,由(1),平面,
所以、、兩兩垂直.可如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,,
所以,,
由(1)知,故與平面垂直,等價(jià)于,
故,從而,即,
直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直,即關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解.
所以,解得,此時(shí).
故點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
因?yàn)?/span>平面,所以且,
所以即二面角的平面角.
因?yàn)?/span>,,
所以,
即若直線上存在唯一一點(diǎn)使得直線與平面垂直時(shí),
所以二面角的余弦值為.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,且.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn),延長交拋物線于點(diǎn),證明:以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓,必與直線相切.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,、分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn),為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求的最大值,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)直線的斜率為,且,求直線的斜率的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在曲線上,求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為,焦點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)過作直線交拋物線于、兩點(diǎn).若直線、分別交直線:于、兩點(diǎn),求的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點(diǎn)F,且點(diǎn)F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P是AB的中點(diǎn),線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若,求直線AB的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正方形中,,分別為棱和棱的中點(diǎn),則下列說法正確的是( )
A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形
C.平面D.異面直線與所成的角為60°
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱的底面邊長,側(cè)棱長,它的外接球的球心為,點(diǎn) 是的中點(diǎn),點(diǎn)是球上的任意一點(diǎn),有以下命題:
① 的長的最大值為9;
②三棱錐的體積的最大值是;
③存在過點(diǎn)的平面,截球的截面面積為;
④三棱錐的體積的最大值為20;
⑤過點(diǎn)的平面截球所得的截面面積最大時(shí),垂直于該截面.
其中是真命題的序號(hào)是___________
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com