設a、b是不相等的實數(shù)，試探求證明不等式(a4＋b4)(a2＋b2)＞(a3＋b3)2的方法．

答案：
解析：

　　探究思路：對于不等式的證明比較常見的方法是作差法，即求出不等式兩邊式子的差，再根據(jù)差與零的關系來達到證明不等式的目的．現(xiàn)在我們又學習了向量數(shù)量積的坐標表示，因此可以根據(jù)不等式結構構造向量利用向量知識來達到證明不等式的目的．

　　方法一：(a4＋b4)(a2＋b2)－(a3＋b3)2

　�。絘6＋b6＋a4b2＋a2b4－a6－b6－2a3b3

　　＝a4b2＋a2b4－2a3b3

　�。絘2b2(a2－ab)＋a2b2(b2－ab)

　　＝a2b2(a－b)2．

　　由于a、b是不相等的實數(shù)，則(a4＋b4)(a2＋b2)－(a3＋b3)2＝a2b2(a－b)2＞0，

　　即(a4＋b4)(a2＋b2)＞(a3＋b3)2．

　　方法二：設m＝(a2，b2)，n＝(a，b)，

　　則m·n＝a3＋b3，

　　又a、b是不相等的實數(shù)，則a2b－ab2≠0，

　　即向量m、n不共線，所以有|m·n|＜|m||n|，即(a4＋b4)(a2＋b2)＞(a3＋b3)2．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2004全國各省市高考模擬試題匯編(天利38套)·數(shù)學 題型：044

二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，a≠0)．

(Ⅰ)對于x1、x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，求證：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不相等的兩實根，且必有一根屬于(x1、x2)；

(Ⅱ)若方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1、x2)內的實根為m，且x1、m－、x2成等差數(shù)列，設x＝x0是f(x)的對稱軸方程．

求證：x0＜m2；

(Ⅲ)若a＞0，f(0)＝1，方程f(x)＝x的兩實根為α、β，當|β|＜2，

|α－β|＝2時，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：成功之路·突破重點線·數(shù)學（學生用書） 題型：044

二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，a≠0)．

(Ⅰ)對于x1、x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，求證：方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有不相等的兩實根，且必有一根屬于(x1、x2)；

(Ⅱ)若方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]在(x1、x2)內的實根為m，且x1、m－、x2成等差數(shù)列，設x＝x0是f(x)的對稱軸方程．求證：x0＜m2．

(Ⅲ)若a＞0，f(0)＝1，方程f(x)＝x的兩實根為α、β，當|β|＜2，|α－β|＝2時，求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x1和x2是方程x2+px+4=0的兩個不相等的實根,則(    )

A.|x1|＞2且|x2|＞2                           B.|x1+x2|＞4

C.|x1+x2|＜4                               D.|x1|=4且|x2|=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x1,x2是方程x2+px+4=0的兩個不相等的實根，則（    ）

A.|x1|＞2且|x2|＞2                         B.|x1+x2|＞4

C.|x1+x2|＜4                                  D.|x1|=4且|x2|=1

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆安徽省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù).若用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根.

【解析】本試題主要考查了二次方程根的問題的綜合運用。運用反證法思想進行證明。

先反設，然后推理論證，最后退出矛盾。證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.顯然不成立。

證明：假設三個方程中都沒有兩個相異實根，

則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0.

相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0，

（a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0.                                      ①

由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立.

∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.

 

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