Question

已知拋物線y=ax²+2x+c與X軸交于A，B兩點，頂點為C．在-1，-2，0，1，2中任選一個數(shù)記為a，在剩下的數(shù)中選一個記為c，使△ABC為等腰直角三角形的概率為

1

4

．

Answer 1

分析：由已知得出基本事件的總數(shù)，再利用判別式△＞0，根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)得出滿足條件的要求事件的基本事件的總數(shù)即可．

解答：解：如圖所示，∵已知拋物線y=ax²+2x+c，∴a≠0．C(-

1

a

，

ac-1

a

)．
在-1，-2，0，1，2中任選一個數(shù)記為a，在剩下的數(shù)中選一個記為c．
則a，c的選法共有以下16種：-1，-2；-1，0；-1，1；-1，2；-2，-1；-2，0；-2，1；-2，2；1，-1；1，-2；1，0；1，2；2，-1；2，-2；2，0；2，1．
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0）．∵拋物線與x軸相較于不同兩點，∴△=4-4ac＞0，即ac＜1．
則x1+x2=-

2

a

，x1x2=

c

a

．
又若要滿足△ABC是等腰直角三角形，則

CA

•

CB

=0，
∴(x1+

1

a

，

1-ac

a

)•(x2+

1

a

，

1-ac

a

)=x1x2+

1

a

(x1+x2)+

1

a2

+

(1-ac)2

a2

=0，代入得

c

a

-

2

a2

+

1

a2

+

(1-ac)2

a2

=0．
化為（ac-1）ac=0，∵ac＜1，a≠0，∴只有c=0．
而c=0的只有4種情況：-1，0；-2，0；1，0；2，0．
因此使△ABC為等腰直角三角形的概率p=

4

16

=

1

4

．
故答案為

1

4

．

點評：正確得出基本事件的總數(shù)和利用判別式△＞0、根與系數(shù)的關(guān)系、等腰直角三角形的性質(zhì)得出滿足條件的要求事件的基本事件的總數(shù)是解題的關(guān)鍵．