Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與直線y=-bx交于A、B兩點(diǎn)，其中a＞b＞c，a+b+c=0，設(shè)線段AB在x軸上的射影為A₁B₁，則|A₁B₁|的取值范圍是（　　）

• A、(

  3

  ，   2

  3

  )
• B、(

  3

  ，   +∞)
• C、(0，   

  3

  )
• D、(2，   2

  3

  )

Answer 1

分析：先設(shè)出A，B坐標(biāo)，把拋物線方程和直線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和，x₁x₂，利用配方法表示出|A₁B₁|，進(jìn)而根據(jù)a+b+c=0求得關(guān)于a和b的|A₁B₁|的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)a＞b＞c，a+b+c=0，求得

b

a

范圍，代入|A₁B₁|的表達(dá)式求得|A₁B₁|的范圍．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）把拋物線y=ax²+bx+c與直線y=-bx聯(lián)立，得0=ax²+2bx+c
∴x₁+x₂=-

2b

a

，x₁x₂=

c

a

．
∴|A₁B₁|=

(x1+x2) 2-4x1x2

=

4b2 a2 - 4c a

∵a+b+c=0
∴c=-a-b，|A₁B₁|=

4b2-4a2-4ab a2

∵a＞b＞c，a+b+c=0，所以c=-a-b＜a，2a＞-b，因?yàn)閍＞b所以a＞-2a，a＞0；a＞-

b

2

∴

b

a

∈（-2，1）
∴二次函數(shù)y=

b2

a2

-

b

a

-1值域?yàn)椋?span id="ve1rfxi" class="MathJye">

3

4

，3）
∴|A₁B₁|∈（

3

，2

3

）
故答案為：（

3

，2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，平時(shí)應(yīng)加強(qiáng)復(fù)習(xí)．