Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明線面平行，可以利用線面平行的判定定理，只要證明 A₁B∥OD即可；
（Ⅱ）可判斷BA，BC，BB₁兩兩垂直，建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，求得平面ADC₁的法向量、平面ADC的法向量，利用向量數(shù)量積可求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）假設存在滿足條件的點E，根據(jù)AE與DC₁成60°角，利用向量的數(shù)量積，可得結論．
解答：（Ⅰ）證明：連接A₁C，交AC₁于點O，連接OD．
由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四邊形ACC₁A₁為矩形，O為A₁C的中點．
又D為BC中點，所以OD為△A₁BC中位線，
所以 A₁B∥OD，
因為 OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
所以 A₁B∥平面ADC₁．…（4分）
（Ⅱ）解：由ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB₁兩兩垂直．
如圖建立空間直角坐標系B-xyz．設BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 ，
設平面ADC₁的法向量為=（x，y，z），則有
所以 取y=1，得=（2，1，-2）．
平面ADC的法向量為=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是銳角，得 ．…（8分）
所以二面角C₁-AD-C的余弦值為．
（Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點E．
因為E在線段A₁B₁上，A₁（0，2，1），B₁（0，0，1），故可設E（0，λ，1），其中0≤λ≤2．
所以 ，．
因為AE與DC₁成60°角，所以．
即，解得λ=1，舍去λ=3．
所以當點E為線段A₁B₁中點時，AE與DC₁成60°角．…（12分）
點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查存在性問題的探究，解題的關鍵是掌握線面平行的判定定理，正確運用向量的方法解決面面角、線線角．