Question

已知△ABC的內(nèi)切圓的三邊AB，BC，CA的切點分別為D，E，F(xiàn)，已知B（-

2

，0），C（

2

，0），內(nèi)切圓圓心為I（1，t）（t≠0），設(shè)點A的軌跡為L．
（1）求L的方程；
（2）設(shè)直線y=2x+m交曲線L于不同的兩點M，N，當(dāng)|MN|=2

5

時，求m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件根據(jù)雙曲線定義知：點A的軌跡是以B，C為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支（除去點E），由此能求出l的方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2-y2=1 y=2x+m

，得3x²+4mx+m²+1=0，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出m的值．

解答： 解：（1）設(shè)點A（x，y），由題意得：
|AB|-|AC|=|BD|-|CP|=|BE|-|CE|=（1+

2

）-（

2

-1）=2，
根據(jù)雙曲線定義知：點A的軌跡是以B，C為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支（除去點E），
∴l(xiāng)的方程為x²-y²=1，x＞1．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2-y2=1 y=2x+m

，得3x²+4mx+m²+1=0，
∵直線y=2x+m交x²-y²=1（x＞1）于不同的兩點M，N，
∴方程3x²+4mx+m²+1=0的兩根均在（1，+∞）內(nèi)，
∴

△=16m2-3×4×(m2+1)＞0 - 4m 2×3 ＞1 3×12+4m×1+m2+1＞0

，
∴m＜-

3

，且m≠-2，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

m2+1

3

，
∴|MN|=

1+22

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

4m2-12 9

=

2 5

3

×

m2-3

，
∵|MN|=2

5

，∴

2 5

3

×

m2-3

=2

5

，
∴m²=12，
∵m＜-

3

，且m≠-2，∴m=-2

3

．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意弦長公式的合理運用．