Question

已知a，b為實(shí)數(shù)，a＞2，函數(shù)f（x）=|lnx-

a

x

|+b（x＞0）．若f（1）=e+1，f（2）=

e

2

-ln2+1．
（1）求實(shí)數(shù)a，b；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若實(shí)數(shù)c，d滿足c＞b，cd=1，求證：f（c）＜f（d）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把f（1）=e+1，f（2）=

e

2

-ln2+1．代入函數(shù)解析式得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組可得a，b的值；
（2）lnx，-

e

x

在（0，+∞）上均單調(diào)遞增，lne-

e

e

=0，令（x）=lnx-

e

x

，得到結(jié)論．
（3）由題意得d=

1

c

，c＞1，代入比較即可．

解答： 解：（1）∵f（1）=e+1，f（2）=

e

2

-ln2+1．
∴|a|+b=e+1，|ln2-

a

2

|+b=

1

2

e-ln2+1，
∵a＞2，
∴a＞2ln2，
∴a+b=e+1，且

a

2

+b=

1

2

e+1，
解得：a=e，b=1．
（2）由（1）得f（x）=|lnx-

e

x

|+1，
∵lnx，-

e

x

在（0，+∞）上均單調(diào)遞增，lne-

e

e

=0，
令g（x）=lnx-

e

x

，
∴當(dāng)x＞e時(shí)，g（x）＞g（e）＞0，從而f（x）=lnx-

e

x

+1單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，g（x）＜g（e）=0，從而f（x）=-lnx+

e

x

+1單調(diào)遞減，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，e），單調(diào)遞增區(qū)間為（e，+∞）．
（3）∵c＞b，cd=1，
∴d=

1

c

，c＞1，
∴f（c）=|

e

c

-lnc|+1，f（d）=f（

1

c

）=|ec+lnc|+1=ec+lnc+1，
∴ec+lnc＞lnc+

e

c

＞|lnc-

e

c

|，
∴f（c）＜f（d）
問題得證．

點(diǎn)評：本題考查了利用代入法求函數(shù)解析式，考查了利用函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了證明不等式成立的問題，此題屬中檔題．