Question

已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且有.

（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：.

 

Answer 1

（1）見解析；（2）；（3）祥見解析．

【解析】

試題分析：（1）先由兩邊同時(shí)減１求出然后取倒，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由于當(dāng)時(shí)，，然后將代入化簡即可得到的關(guān)系式，將所得式子轉(zhuǎn)化為：，最后應(yīng)用疊乘法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）由前兩問的結(jié)果可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式為，應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和法先求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，即可證得所要證明的不等式式．

試題解析：（1）證明： 1分

即： 3分

∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列. 4分

（2）【解析】
當(dāng)時(shí)， 5分

， 即： 6分

8分

當(dāng)時(shí)， ∴ 9分

（3）由（1）知： 10分

12分

...14分

考點(diǎn)：1．等差數(shù)列；2．?dāng)?shù)列通項(xiàng)公式的求法；３．?dāng)?shù)列前項(xiàng)和的求法．