Question

有A、B、C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子中放有紅、黃、藍(lán)顏色的球各一個(gè)，所有的球僅有顏色上的區(qū)別．
（Ⅰ）從每個(gè)盒子中任意取出一個(gè)球，記事件S為“取得紅色的三個(gè)球”，事件T為“取得顏色互不相同的三個(gè)球”，求P（S）和P（T）；
（Ⅱ）先從A盒中任取一球放入B盒，再從B盒中任取一球放入C盒，最后從C盒中任取一球放入A盒，設(shè)此時(shí)A盒中紅球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,等可能事件的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知條件利用古典概率的計(jì)算公式，能求出P（S）和P（T）．
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）的值，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵A、B、C三個(gè)盒子，
每個(gè)盒子中放有紅、黃、藍(lán)顏色的球各一個(gè)，
所有的球僅有顏色上的區(qū)別．
從每個(gè)盒子中任意取出一個(gè)球，記事件S為“取得紅色的三個(gè)球”，
事件T為“取得顏色互不相同的三個(gè)球”，
∴P(S)=

1

3

×

1

3

×

1

3

=

1

27

，
P(T)=

C 1 3 C 1 2 C 1 1

C 1 3 C 1 3 C 1 3

=

2

9

．
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1，2．
①考慮ξ=0的情形，首先A盒中必須取一個(gè)紅球放入B盒，相應(yīng)概率為

1

3

，
此時(shí)B盒中有2紅2非紅；
若從B盒中取一紅球放入C盒，相應(yīng)概率為

1

2

，則C盒中有2紅2非紅，
從C盒中只能取一個(gè)非紅球放入A盒，相應(yīng)概率為

1

2

；
若從B盒中取一非紅球放入C盒，相應(yīng)概率為

1

2

，
則C盒中有1紅3非紅，從C盒中只能取一個(gè)非紅球放入A盒，相應(yīng)概率為

3

4

．
故P(ξ=0)=

1

3

×[

1

2

×

1

2

+

1

2

×

3

4

]=

5

24

．
②考慮ξ=2的情形，首先A盒中必須取一個(gè)非紅球放入B盒，相應(yīng)概率為

2

3

，
此時(shí)B盒中有1紅3非紅；
若從B盒中取一紅球放入C盒，相應(yīng)概率為

1

4

，
則C盒中有2紅2非紅，從C盒中只能取一個(gè)紅球放入A盒，相應(yīng)概率為

1

2

；
若從B盒中取一非紅球放入C盒，相應(yīng)概率為

3

4

，
則C盒中有1紅3非紅，從C盒中只能取一個(gè)紅球放入A盒，相應(yīng)概率為

1

4

．
故P(ξ=2)=

2

3

×[

1

4

×

1

2

+

3

4

×

1

4

]=

5

24

．
③P(ξ=1)=1-

5

24

-

5

24

=

7

12

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	5 24	7 12	5 24

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

5

24

+1×

7

12

+2×

5

24

=1．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．