Question

已知點(diǎn)A（0，6），圓C：x²+y²+10x+10y=0．
（1）求過點(diǎn)A且與圓C相切于原點(diǎn)O的圓C₁的方程；
（2）求直線2x+3y+

26

-15=0被圓C₁所截得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)，由所求圓與圓C相切與原點(diǎn)，得到兩圓心與原點(diǎn)三點(diǎn)共線，由C和原點(diǎn)的坐標(biāo)確定出三點(diǎn)共線的直線方程，得到所求圓的圓心在此直線上，由線段OA為所求圓中的弦，根據(jù)垂徑定理得到圓心一定在弦AO的垂直平分線上，找出線段AO的垂直平分線，聯(lián)立兩直線方程得出方程組，求出方程組的解得到圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，由圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（2）由第一問求出的圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離即為弦心距，再由圓的半徑，利用勾股定理求出弦長(zhǎng)得一半，即可求出直線被圓所截得的弦長(zhǎng)．

解答：（ 本題滿分（14分） ）
解：（1）由x²+y²+10x+10y=0，得（x+5）²+（y+5）²=50，
所以圓C的圓心坐標(biāo)（-5，-5），
而圓C₁的圓心C₁與圓心C、原點(diǎn)O共線，
故圓心C₁在直線y=x上，又圓C₁同時(shí)經(jīng)過點(diǎn)O與點(diǎn)A（0，6），
所以圓心C₁又在直線y=3上，則有：

y=x y=3

，
解得：

x=3 y=3

，即圓心C₁的坐標(biāo)為（3，3），
又|OC₁|=

32+32

=3

2

，即半徑r=3

2

，
故所求圓C₁的方程為（x-3）²+（y-3）²=18；

（2）∵圓心C₁到直線2x+3y+

26

-15=0的距離d=

|6+9+ 26 -15|

13

=

2

，
故所求的弦長(zhǎng)為：2

r2-d2

=2

18-2

=8．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，遇到直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理作出所截得弦的弦心距，由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．