Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=AB，E是PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EC∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面PAD．

Answer 1

證明：（Ⅰ）設(shè)PA的中點(diǎn)為F，連接EF、DF，
因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以EF∥AB且（3分）
由已知∠ABC=∠BCD=90°，
所以CD∥AB（4分）
又∵，
∴四邊形FECD是平行四邊形，CE∥DF（6分）
而FD在平面APD內(nèi)
所以EC∥平面PAD（7分）
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)H，連接PH，因?yàn)镻A=PD，所以PH⊥AD
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PH⊥平面ADCB
∴PH⊥BD①（10分）
取AB的中點(diǎn)為G，連接DG
由題意易知是DGBC正四邊形，∠GBD=∠BDG=45°AG=GD，∠GAD=∠ADG=45°
所以∠ADB=90°，AD⊥BD②（13分）
由①②可知BD⊥平面PAD（14分）
分析：（Ⅰ）設(shè)PA的中點(diǎn)為F，連接EF、DF，欲證EC∥平面PAD，根據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知只需證EC與平面PAD內(nèi)一直線(xiàn)平行，而根據(jù)條件可知四邊形FECD是平行四邊形則CE∥DF，滿(mǎn)足定理?xiàng)l件，則EC∥平面PAD；
（Ⅱ）取AD的中點(diǎn)H，連接PH，根據(jù)PA=PD，所以PH⊥AD，又根據(jù)平面PAD⊥平面ABCD，從而PH⊥平面ADCB，則PH⊥BD，取AB的中點(diǎn)為G，連接DG，欲證BD⊥平面PAD，根據(jù)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面PAD內(nèi)兩相交直線(xiàn)垂直，而AD⊥BD，PH⊥BD，AD∩PH=H，滿(mǎn)足定理所需條件．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定，以及直線(xiàn)與平面垂直的判定，應(yīng)熟練記憶直線(xiàn)與平面平行的判定定理和直線(xiàn)與平面垂直的判定定理．