在雙曲線=－1的一支上有不同三點A(x1，y1)、B(x2，6)、C(x3，y3)與點F(0，5)的距離|AF|、|BF|、|CF|依次成等差數(shù)列。

(1)求y1+y3的值；

(2)求證線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求出定點的坐標�！�

 

答案：
解析：

雙曲線的標準方程=1。易知F(0，5)為雙曲線上的焦點，A、B、C是雙曲線上支上的三點，|AF|、|BF|、|CF|均為焦半徑，故考慮運用雙曲線的第二定義解答

(1)a2=12，b2=13，∵c2=25，，F(0，5)為上焦點，上準線方程為y=，如圖所示，根據(jù)雙曲線的第二定義，有

∵2|BF|=|AF|+|CF|，∴y1+y3=12.

(也可以用第一定義求解，請讀者自己完成)。

(2)設(shè)AC的中點為M(x0，y0)，則y0==6，即M的坐標為(x0，6)。問題涉及弦的中點，故用差分法求AC的斜率kAC。

∵A、C在雙曲線上，

∴

   ①—②，得

∴

∴

∴ AC的垂直平分線的方程是y－6=(x－x0)，令x=0，得y=，故它經(jīng)過定點(0，)。

 


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在雙曲線
y2
12
-
x2
13
=1的一支上不同的三點A（x1，y1）、B（
26
，6）、C（x2，y2）與焦點F（0，5）的距離成等差數(shù)列．
（1）求y1+y2；
（2）證明線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求該定點的坐標．

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精英家教網(wǎng)如圖，在雙曲線
y2
12
-
x2
13
=1的上支上有三點A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，y3），它們與點F（0，5）的距離成等差數(shù)列．
（1）求y1+y3的值；
（2）證明：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求此點坐標．

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在雙曲線＝－1的一支上有不同三點A，6)，C()與焦點F(0，5)的距離成等差數(shù)列，(1)求；(2)求證線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求出定點的坐標．

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在雙曲線＝－1的一支上有不同的三點A(，)，B(，6)，C(，)與焦點F(0，5)的距離成等差數(shù)列．

(1)求

(2)求證：線段AC的垂直平分線經(jīng)過某一定點，并求出定點的坐標．

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在雙曲線－＝1的一支上有三個不同的點A(x1，y1)、B(，6)、C(x2，y2)，它們與焦點F(0，5)的距離成等差數(shù)列，求y1＋y2的值．

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