【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)數(shù).

(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)若函數(shù)的定義域內(nèi)不單調(diào)且在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】試題分析:

(1)原問題等價(jià)于函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),分類討論可得:時(shí),無零點(diǎn);時(shí),有一個(gè)零點(diǎn);時(shí),有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論,利用導(dǎo)函數(shù)列表分類討論函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析:

(1),

,所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù),

設(shè)兩者相切時(shí)切點(diǎn)為,則由,

.

由圖可知時(shí),兩函數(shù)圖象無交點(diǎn),無零點(diǎn);

<>時(shí),兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn),有一個(gè)零點(diǎn);

時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)零點(diǎn).

解法二:,

,所以,所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

因?yàn)?/span>,

所以時(shí),,遞增;時(shí),遞減且,

時(shí),有極大值,

如圖所示,由圖可知,兩函數(shù)圖象無交點(diǎn),無零點(diǎn);

時(shí),兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn),有一個(gè)零點(diǎn);

時(shí),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn),有兩個(gè)零點(diǎn).

解法三:直接由的導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn),因?yàn)楹瘮?shù)取正值或負(fù)值時(shí)的特殊值不易找,請謹(jǐn)慎處理,如果僅僅交代單調(diào)性而不說明零點(diǎn)存在定理的條件(即)中的的、或者只用限說明的,要酌情扣分。

(2)解法1:由(1)知時(shí),無零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn),,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí),.

上單調(diào)遞減時(shí),,即,亦等價(jià)于時(shí),

.

①當(dāng)時(shí),遞增,不合題意;

②當(dāng)時(shí),,此時(shí),遞減,

時(shí),,由,解得,

所以;

③當(dāng)時(shí),時(shí),由表可知時(shí),取最大值,最大值為,不合題意.

0

負(fù)

極大值

綜上可知.

解法二:由(1)知時(shí),無零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn),,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí),.

上單調(diào)遞減時(shí),,即恒成立;

,令,則恒成立,

因?yàn)?/span>,所以時(shí),單調(diào)遞減,

,由恒成立得,解得.

綜上可得.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】長春市的“名師云課”活動(dòng)自開展以來獲得廣大家長和學(xué)子的高度贊譽(yù),在我市推出的第二季名師云課中,數(shù)學(xué)學(xué)科共計(jì)推出36節(jié)云課,為了更好地將課程內(nèi)容呈現(xiàn)給廣大學(xué)子,現(xiàn)對某一時(shí)段云課的點(diǎn)擊量進(jìn)行統(tǒng)計(jì):

點(diǎn)擊量

節(jié)數(shù)

6

18

12

(Ⅰ)現(xiàn)從36節(jié)云課中采用分層抽樣的方式選出6節(jié),求選出的點(diǎn)擊量超過3000的節(jié)數(shù).

(Ⅱ)為了更好地搭建云課平臺(tái),現(xiàn)將云課進(jìn)行剪輯,若點(diǎn)擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費(fèi)40分鐘進(jìn)行剪輯,若點(diǎn)擊量在區(qū)間內(nèi),則需要花費(fèi)20分鐘進(jìn)行剪輯,點(diǎn)擊量超過3000,則不需要剪輯,現(xiàn)從(Ⅰ)中選出的6節(jié)課中任意取出2節(jié)課進(jìn)行剪輯,求剪輯時(shí)間為40分鐘的概率.

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(2)若直線ax﹣y+4=0與圓相交于A、B兩點(diǎn),且弦AB的長為2 ,求a的值.

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(1)求函數(shù)的定義域及其零點(diǎn);

(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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(Ⅱ)如圖,過右焦點(diǎn)F2 , 且斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C相交于D,E兩點(diǎn),A為橢圓的右頂點(diǎn),直線AE,AD分別交直線x=3于點(diǎn)M,N,線段MN的中點(diǎn)為P,記直線PF2的斜率為k′.試問kk′是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.

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D.{x|2<x<3}

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