Question

【題目】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù).

(1)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若函數(shù)的定義域內(nèi)不單調(diào)且在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）

【解析】試題分析：

(1)原問題等價(jià)于函數(shù)和圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，分類討論可得：時(shí)，無零點(diǎn)；或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，利用導(dǎo)函數(shù)列表分類討論函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

(1)，

令得即，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩函數(shù)和圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

設(shè)兩者相切時(shí)切點(diǎn)為，則由且，

得.

由圖可知時(shí)，兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，無零點(diǎn)；

<>或時(shí)，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn).

解法二：，

令得即，所以，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于兩函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

因?yàn)?/span>，

所以時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減且，

時(shí)，有極大值，

如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，無零點(diǎn)；

或時(shí)，兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)；

時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，有兩個(gè)零點(diǎn).

解法三：直接由的導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)取正值或負(fù)值時(shí)的特殊值不易找，請(qǐng)謹(jǐn)慎處理，如果僅僅交代單調(diào)性而不說明零點(diǎn)存在定理的條件(即)中的的、或者只用限說明的，要酌情扣分。

(2)解法1：由(1)知時(shí)，無零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，.

在上單調(diào)遞減時(shí)，，即，亦等價(jià)于時(shí)，，

.

①當(dāng)時(shí)，，遞增，不合題意；

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，遞減，

時(shí)，，由得，解得，

所以；

③當(dāng)時(shí)，，時(shí)，由表可知時(shí)，取最大值，最大值為，不合題意.

	正	0	負(fù)
	增	極大值	減

綜上可知.

解法二：由(1)知時(shí)，無零點(diǎn)或一個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)時(shí)，.

在上單調(diào)遞減時(shí)，，即恒成立；

由得，令，則恒成立，

因?yàn)?/span>，所以時(shí)，單調(diào)遞減，

，由恒成立得，解得.

綜上可得.