Question

如圖，已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁，

求證：(1)平面AB₁D₁∥平面C₁BD；

(2)對角線A₁C被平面AB₁D₁和平面C₁BD三等分．

Answer 1

答案：
解析：

證：(1)連AC，∵BD⊥AC，AC是A1C在底面上的射影，由三條垂線定理得A1C⊥BD，同理可證A1C⊥BC1． 　　∴A1C⊥平面C1BD，同理也能證得A1C⊥平面AB1D1． 　　∴平面AB1D1∥平面C1BD． 　　(2)設(shè)A1到平面AB1D1的距離為h，正方體的棱長為a，則有：h·(a)2＝a·a2． 　　∴h＝a．同理C到平面C1BD的距離也為a，而A1C＝a．故A1C被兩平行平面三等分． 　　評析：論證A1C被兩平行平面三等分，關(guān)鍵是求A1到平面AB1D1的距離，C到平面C1BD的距離，這里用三棱錐體積的代換，若不用體積代換，則可以在平面A1ACC1中去考慮： 　　連A1C1，設(shè)A1C1∩B1D1＝O1，AC∩BD＝0，如圖連AO1，C1O，AC1，設(shè)AC1∩A1C＝K．A1C∩AO1＝M，C1O∩A1C＝N．可證M為ΔA1AC1的重心，N為ΔACC1的重心，則可推知MN＝NC＝A1M． 　　另外值得說明的是：A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂線． 　　異面直線AD1和C1D的距離也等于MN．

提示：

本題若根據(jù)“一個平面內(nèi)兩條相交的直線分別與另一平面內(nèi)兩條相交的直線平行，則兩平面平行”是很容易解決論證平面AB1D1∥平面C1BD的，但兼顧考慮(2)的論證，(1)我們還是采用“兩平面垂直于同一直線則兩平面平行”的判定的方法．