在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知四邊形OABC是平行四邊形，A（4，0），C（1，
3
），點(diǎn)M是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動（包括端點(diǎn)），如圖
（Ⅰ）求∠ABC的大小；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使(λ
OA
-
OP
)⊥
CM
？若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．
分析：（Ⅰ）由于四邊形OABC是平行四邊形，由cos∠ABC=cos∠AOC=
OA
•
OC
|
OA
|•|
OC
|
=
1
2
，求得∠ABC的值．
（II）設(shè)P(t，
3
)，其中1≤t≤5，由(λ
OA
-
OP
)⊥
CM
，可得(λ
OA
-
OP
)•
CM
=0，求得λ的解析式，再根據(jù)1≤t≤5，求得λ的值，從而得出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由題意，得
OA
=(4，0)，
OC
=(1，
3
)，因?yàn)樗倪呅蜲ABC是平行四邊形，
所以，cos∠ABC=cos∠AOC=
OA
•
OC
|
OA
|•|
OC
|
=
1
2
，于是，∠ABC=
π
3
．…（6分）
（II）設(shè)P(t，
3
)，其中1≤t≤5，
于是
OP
=(t，
3
)，λ
OA
-
OP
=(4λ-t，-
3
)，
CM
=(1，-
3
)．…（9分）
若(λ
OA
-
OP
)⊥
CM
，則(λ
OA
-
OP
)•
CM
=0，
即4λ-t+3=0?λ=
t-3
4
．…（12分）
又1≤t≤5，所以λ=
t-3
4
∈[-
1
2
，
1
2
]，故存在實(shí)數(shù)λ∈[-
1
2
，
1
2
]，
使(λ
OA
-
OP
)⊥
CM
．…（14分）
點(diǎn)評：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，用兩個(gè)向量的數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓心在直線y=x+4上，半徑為2
2
的圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）若F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在圓C上，且滿足PF=4，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
，則sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若焦點(diǎn)在x軸的橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的離心率為
1
2
，則m的值為
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•東莞一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F1（-1，0），且橢圓C的離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，Q是橢圓C上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線QA1，QA2分別交x軸于點(diǎn)S，T，證明：|OS|•|OT|為定值，并求出該定值；
（3）在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M（m，n），使得直線l：mx+ny=2與圓O：x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請說明理由．

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